Naturaleza y lenguaje Matemático

 

Conceptos Primitivos y Definiciones:

 

Son muchas las ocasiones en las cuales encontramos dificultades para encontrar el significado preciso de ciertas palabras, por ejemplo Conjunto y Elemento.

 

CONJUNTO: Es una colección de objetos llamados elementos.

 

ELEMENTO: Es cada uno de los objetos que forman un conjunto.

 

Como vemos para dar el significado de CONJUNTO hemos utilizado la palabra ELEMENTO y para dar el significado de ELEMENTO hemos utilizado la palabra CONJUNTO. De esta manera podemos concluir que no hemos resuelto nada.

 

Este tipo de situaciones como la anterior obligan a considerar en la matemática un pequeño número de palabras SIN DEFINIR, de las cuales sólo llegaremos a conocer su significado intuitivo. Estas palabras sin definir las denominaremos CONCEPTOS PRIMITIVOS.

 

DEFINICIONES

 

A partir de los CONCEPTOS INDEFINIBLES y de otras palabras comunes de nuestro lenguaje (los, las, la, es, ni, como, es, etc.) que no tienen un significado especial, se procede a dar el significado preciso de otras palabras. Estas palabras se denominan DEFINICIONES.

 

Para que una definición esté bien hecha debe cumplir dos condiciones:

 

1.  Que la definición tenga sentido y no sea contradictoria.

2.  La definición debe incluir todos los casos que se están pensando y exluir todos los demás.

 

PROPOSICIONES

 

El siguiente paso en la elaboración del MODELO MATEMÁTICO consiste en la formación de frases a partir de las palabras definidas y las no definidas. Dentro de las frases hay algunas que juegan un papel importante en el pensamiento matemático, llamadas PROPOSICIONES, que son aquellas a las que podemos "asignar con toda exactitud" uno y sólo uno de los valores de verdad: VERDADERO o FALSO.

 

OBJETOS MATEMÁTICOS

 

Con la palabra objeto se quiere designar las cosas (elementos) que se emplean en Matemáticas. 

 

En general, los objetos matemáticos suelen darse mediante una definición. Unido a la definición puede ir el procedimiento, el cómo se hace; y también las propiedades que cumplen. Algunas de esas propiedades se llaman Axiomas o Postulados, y se aceptan sin demostrar, supuestamente por su evidente certeza. 

 

A partir de esos axiomas, y siempre por deducción lógica, se obtienen otras propiedades o teoremas. Se construye así una teoría matemática.

 

Quizás resulte conveniente, para entender mejor lo que se quiere expresar, distinguir tres palabras (tres conceptos): demostración, comprobación y conjetura.

 

Una Demostración es el proceso lógico que asegura que una determinada propiedad es cierta siempre, para cualquier valor del objeto considerado.

 

Una Comprobación es la verificación de que una propiedad (una igualdad, por ejemplo) es cierta para un caso particular. Pero una comprobación, en modo alguno, es equivalente a una demostración.

 

Una Conjetura, una suposición, por muy razonable que parezca, sólo puede ser admitida como cierta cuando se llegue a demostrar por deducción lógica. 

 

Para aprender a trabajar matemáticamente hay que saber tres cosas:

 

1. Qué tipo de objetos se emplean. Para qué se usa cada uno.

2. Cómo se manejan, qué propiedades cumplen.

3. Cómo se relacionan entre ellos: operaciones. La operación se define; las propiedades generan resultados.

 

Las propiedades de una determinada operación indican lo que puede hacerse o no. El objetivo de las propiedades no es complicar los cálculos (aunque su formulación teórica así lo parezca). Las propiedades se formulan para hacer los cálculos más rápidos y sencillos; o para indicar caminos alternativos cuando se presenten dificultades. 

 

Un teorema es una proposición que afirma una verdad demostrable. En matemáticas, es toda proposición que partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una verdad (tesis) no evidente por sí misma.

 

Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio del que pueda ser deducida.

 

Un corolario (del latín corollarium) es un término que se utiliza en matemáticas y en lógica para designar la evidencia de un teorema o de una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente que no necesita demostración. 

 

Un Lema es un teorema que debe anteponerse a otro por ser necesario para la demostración de este último.

 

Un Corolario es una verdad que se deriva como consecuencia de un teorema. 

 

El Reciproco de un teorema es otro teorema cuya hipóstesis es la tesis del primero (llamado teorema directo) y cuya tesis es la hipótesis del directo.